Question

【題目】如圖，等邊三角形所在平面與梯形所在平面互相垂直，且有，，.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由平面幾何知識(shí)可得，再由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，最后由面面垂直的判定定理得結(jié)論；

（2）取中點(diǎn)為，可得，從而有平面，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用法向量的夾角得出二面角（注意二面角是銳角還是鈍角）.

（1）證明：取中點(diǎn)，連接，

則四邊形為菱形，即有，

所以.

又平面，

平面平面，

平面平面，

∴平面，

又平面，

∴平面平面.

（2）由（1）可得，

取中點(diǎn)，連接，則，，

又平面，

平面平面，

平面平面，

∴平面.

以為原點(diǎn)建系如圖，則

，，，，

，，，

設(shè)平面的法向量為，則

，取，得.

設(shè)平面的法向量為，則，取，，

.

∴二面角的余弦值為.