Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c．
（Ⅰ）若，求f（x）在[-2，4]上的最大值與最小值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，在點(diǎn)P（x，f（x））處的切線為l，l與函數(shù)f（x）的圖象交于另一點(diǎn)Q（x₁，y₁）．若P、Q在x軸上的射影分別為P₁、Q₁，，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的駐點(diǎn)，然后在[-2，4]上利用駐點(diǎn)分區(qū)間討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值即可；
（Ⅱ）根據(jù)奇函數(shù)定義f（-x）=-f（x）求出a和c得到f（x）解析式并求出導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)P（x，f（x））寫出切線方程，與f（x）解析式聯(lián)立求出公共解，再根據(jù)求出λ的值即可．
解答：（Ⅰ）若，f′（x）=3x²-3x-6=3（x-2）（x+1）

最小值為f（2）=-9，最大值為f（4）=17，
（Ⅱ）由已知得：函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c為奇函數(shù)
∴a=0，c=0，∴f（x）=x³+bx
∴f′（x）=3x²+b
∵切點(diǎn)為P（x，y），其中y=f（x），
則切線l的方程為：y=（3x²+b）（x-x）+y
由
得x³+bx=（3x²+b）（x-x）+y
又y=f（x）=x³+bx
∴x³-x³+b（x-x）-（3x²+b）（x-x）=0
∴（x-x）（x²+xx-2x²）=0
∴（x-x）²（x+2x）=0
∴x=x或x=-2x，由題意知，x≠0
從而x₁=-2x
∵
∴x₁=λx
∴λ=-2
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值能力，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程的能力．