Question

如圖，四棱錐的底面為矩形，且，，，

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值

 

 

 

Answer 1

【答案】

（I）證明：由題意得且 

又，則     ……………………………3分

則平面, 故平面平面………………6分

（Ⅱ）解法1：

 

 

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為ｙ軸建立空間直角坐標(biāo)系如右圖示，則,, 

可得, ……………………………8分

平面ABCD的單位法向量為，………10分

設(shè)直線PC與平面ABCD所成角為，則 …13分

則，即直線PC與平面ABCD所成角的正弦值 …………………………………14分

解法2：

 

 

由（I）知平面，∵面

∴平面ABCD⊥平面PAB, 在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，則PE⊥平面ABCD，連結(jié)EC，則∠PCE為直線PC與平面ABCD所成的角，在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,又∴

在Rt△PEC中.

 

【解析】略