Question

已知二次不等式ax²+2x+b＞0的解集{x|x≠-

1

a

}，且a＞b，則

a2+b2

a-b

的最小值為

2

2

．

Answer 1

分析：由二次不等式和二次方程的根的關(guān)系可得ab=1，而要求的式子可化為：（a-b）+

2

a-b

，由基本不等式求最值可得結(jié)果．

解答：解：∵二次不等式ax²+2x+b＞0的解集{x|x≠-

1

a

}，
∴a＞0，且對應(yīng)方程有兩個相等的實根為-

1

a

由根與系數(shù)的故關(guān)系可得-

1

a

•(-

1

a

)=

b

a

，即ab=1
故

a2+b2

a-b

=

(a-b)2+2

a-b

=（a-b）+

2

a-b

，
∵a＞b，∴a-b＞0，由基本不等式可得
（a-b）+

2

a-b

≥2

(a-b) 2 a-b

=2

2

，
當且僅當a-b=

2

時取等號
故

a2+b2

a-b

的最小值為：2

2

故答案為：2

2

點評：本題為基本不等式求最小值，涉及不等式的解集跟對應(yīng)方程根的關(guān)系，把要求的式子化簡成可利用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．