Question

先解答（1），再通過類比解答（2）：
（1）①求證：；②用反證法證明：函數(shù)f（x）=tanx的最小正周期是π；
（2）設(shè)x∈R，a為正常數(shù)，且，試問：f（x）是周期函數(shù)嗎？證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）①證明：．
②假設(shè)T是函數(shù)f（x）=tanx的一個(gè)周期，且0＜T＜π，
則對任意，有tan（x+T）=tanx，令x=0得tanT=0，
而當(dāng)0＜T＜π時(shí)，tanT≠0恒成立或無意義，矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立．
（2）由（1）可類比出函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，它的最小正周期是4a．
證明：因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/51829.png' />，
所以．
分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，在由正切函數(shù)的周期性類比推理抽象函數(shù)的周期性時(shí)，我們常用的思路是：由正切函數(shù)的周期性，類比推理抽象函數(shù)的周期性；由正切函數(shù)的周期性的證明方法，類比推理抽象函數(shù)的周期性的證明方法．
點(diǎn)評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．但類比推理的結(jié)論不一定正確，還需要經(jīng)過證明，我們在進(jìn)行類比推理時(shí)，一定要注意對結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步的論證，如果要證明一個(gè)結(jié)論是正確的，要經(jīng)過嚴(yán)密的論證，但要證明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只需要舉出一個(gè)反例．