Question

【題目】

已知橢圓兩個焦點的坐標分別是， ，并且經(jīng)過點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2） 已知是橢圓的左頂點，斜率為的直線交橢圓于， 兩點，

點在上， ， ，證明： .

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析： 由橢圓定義可得，即，由題意可得，結(jié)合的關(guān)系可得，進而得到橢圓方程；

設(shè)直線的方程，求得點坐標，同理可得點坐標，代入，驗證，即可證得結(jié)果

解析：(1)由焦點的坐標設(shè)橢圓標準方程是．設(shè)左、右焦點是

又∵點在橢圓上，∴

∴，

∴，即．

由已知半焦距，∴．

∴橢圓的方程為．

（2）由（1）知 ，直線的方程是

將方程代入得.

設(shè)，則由題意知，由得，

故.

由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得.

由得，即.

設(shè)，則是的零點，

，

所以在單調(diào)遞增，又，

因此在有唯一的零點，且零點在內(nèi)，所以.