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        1. 過雙曲線G:
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1
          (a>0,b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線m,分別與兩漸近線交于B,C兩點(diǎn),若|AB|=2|AC|,則雙曲線G的離心率為
          10
          10
          3
          10
          10
          3
          分析:先根據(jù)條件求出直線l的方程,聯(lián)立直線方程與漸近線方程分別求出點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo),結(jié)合條件得出C為AB的中點(diǎn)求出b,a間的關(guān)系,進(jìn)而求出雙曲線的離心率.
          解答:解:由題得,雙曲線的右頂點(diǎn)A(a,0)
          所以所作斜率為1的直線l:y=x-a,
          若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點(diǎn)B(x1,y1),C(x2,y2).
          聯(lián)立其中一條漸近線y=-
          b
          a
          x,則
          y=x-a
          y=-
          b
          a
          x
          ,
          解得x2=
          a2
          a+b
          ①;
          同理聯(lián)立
          y=x-a
          y=
          b
          a
          x
          ,
          解得x1=
          a2
          a-b
          ②;
          又因?yàn)閨AB|=2|AC|,
          (i)當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí),則x2=
          x 1+a
          2
          ⇒2x2=x1+a,
          把①②代入整理得:b=3a,
          ∴e=
          c
          a
          =
          a2+b2
          a
          =
          10
          ;
          (ii)當(dāng)A為BC的中點(diǎn)時(shí),則根據(jù)三角形相似可以得到
          a-x2
          x1-x2
          =
          1
          3
          ,
          ∴x1+2x2=3a,
          把①②代入整理得:a=3b,
          ∴e=
          c
          a
          =
          a2+b2
          a
          =
          10
          3

          綜上所述,雙曲線G的離心率為
          10
          10
          3

          故答案為:
          10
          10
          3
          點(diǎn)評(píng):本題考題雙曲線性質(zhì)的綜合運(yùn)用,解題過程中要注意由|AC|=|BC|得到C是A,B的中點(diǎn)這以結(jié)論的運(yùn)用.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          F1,F(xiàn)2分別是雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1的左、右焦點(diǎn),A是其右頂點(diǎn),過F2作x軸的垂線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,G是△PF1F2的重心,若
          GA
          F1F2
          =0,則雙曲線的離心率是( 。
          A、2
          B、
          2
          C、3
          D、
          3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知F1、F2分別是雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1
          的左、右焦點(diǎn),A是其右頂點(diǎn),過作x軸的垂線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,G是△PF1F2的重心,若
          .
          GA
          .
          F1F2
          =0
          ,則雙曲線的離心率為
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•宿州一模)已知斜率為1的直線l與雙曲線C:
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)
          相交于B、D兩點(diǎn),且BD的中點(diǎn)為M(1,3).
          (1)求雙曲線C的離心率;
          (2)若雙曲線C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),則以雙曲線的焦點(diǎn)為焦點(diǎn),過直線g:x-y+9=0上一點(diǎn)M作橢圓,要使所作橢圓的長軸最短,點(diǎn)M應(yīng)在何處?并求出此時(shí)的橢圓方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          點(diǎn)P在以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線E:
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1
          (a>0,b>0)上,已知PF1⊥PF2,|PF1|=2|PF2|,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
          (Ⅰ)求雙曲線的離心率e;
          (Ⅱ)過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1,P2兩點(diǎn),且
          OP1
          OP2
          =-
          27
          4
          ,2
          PP1
          +
          PP2
          =
          0
          ,求雙曲線E的方程;
          (Ⅲ)若過點(diǎn)Q(m,0)(m為非零常數(shù))的直線l與(2)中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N,且
          MQ
          QN
          (λ為非零常數(shù)),問在x軸上是否存在定點(diǎn)G,使
          F1F2
          ⊥(
          GM
          GN
          )
          ?若存在,求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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