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        1. 已知圓C:(x+1)2+y2=8,過D(1,0)且與圓C相切的動圓圓心為P,
          (1)求點P的軌跡E的方程;
          (2)設(shè)過點C的直線l1交曲線E于Q,S兩點,過點D的直線l2交曲線E于R,T兩點,且l1⊥l2,垂足為W.(Q,S,R,T為不同的四個點)
          ①設(shè)W(x°,y°),證明:
          x°22
          +y°2<1

          ②求四邊形QRST的面積的最小值.
          分析:(1)設(shè)動圓半徑為r,則|PC|=2
          2
          -r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2
          2
          >|CD|=2
          ,由橢圓定義能求出點P的軌跡E的方程.
          (2)①由已知條件可知,垂足W在以CD為直徑的圓周上,由Q,S,R,T為不同的四個點,能夠證明
          x°2
          2
          +y°2<1

          ②若l1或l2的斜率不存在,四邊形QRST的面積為2.若兩條直線的斜率存在,設(shè)l1的斜率為k1,則l1的方程為y=k1(x+1)
          y=k1(x+1)
          x2
          2
          +y2=1
          ,得|QS|=2
          2
          k2+1
          2k2+1
          ,同理得|RT|=2
          2
          k2+1
          k2+2
          ,由此能求出四邊形QRST的面積取得最小值.
          解答:(1)解:設(shè)動圓半徑為r,
          |PC|=2
          2
          -r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2
          2
          >|CD|=2
          ,
          由橢圓定義可知,點P的軌跡E是橢圓,
          其方程為
          x2
          2
          +y2=1
          .(2分)
          (2)①證明:由已知條件可知,垂足W在以CD為直徑的圓周上,
          則有x°2+y°2=1
          又因Q,S,R,T為不同的四個點,
          x°2
          2
          +y°2<1
          .(4分)
          ②解:若l1或l2的斜率不存在,四邊形QRST的面積為2.(6分)
          若兩條直線的斜率存在,設(shè)l1的斜率為k1,
          則l1的方程為y=k1(x+1),
          聯(lián)立
          y=k1(x+1)
          x2
          2
          +y2=1
          ,
          得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
          |QS|=2
          2
          k2+1
          2k2+1
          ,(8分)
          同理得|RT|=2
          2
          k2+1
          k2+2
          ,
          SQSRT=
          1
          2
          |QS|•|RT|=4
          (k2+1)2
          (2k2+1)(k2+2)
          ≥4
          (k2+1)2
          9
          4
          (k2+1)2
          =
          16
          9
          ,
          當(dāng)且僅當(dāng)2k2+1=k2+1,即k=±1時等號成立.(11分)
          綜上所述,當(dāng)k=±1時,四邊形QRST的面積取得最小值為
          16
          9
          .(12分)
          點評:本題考查點的軌跡方程的求法,考查不等式的證明,考查四邊形面積的最小值的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.
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          2
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