Question

某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但每生產(chǎn)一百件這樣的產(chǎn)品，需要增加可變成本（即另增加投入）0.25萬元．市場對此產(chǎn)品的年需求量為500件，銷售的收入函數(shù)為R(t)=5t-

t2

2

(0≤t≤5，t∈N)（單位：萬元），其中t（t∈N）是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百件）
（1）該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x（x∈N）百件，生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤為當(dāng)年產(chǎn)量x（x∈N）的函數(shù)f（x），求f（x）；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？
（3）當(dāng)年產(chǎn)量是多少時，工廠才不虧本？

Answer 1

分析：（1）利潤函數(shù)=銷售收入函數(shù)-成本函數(shù)，討論x的大小，由此能夠利用分段函數(shù)表示出年利潤y表示為年產(chǎn)量x（x＞0）的函數(shù)．
（2）由利潤函數(shù)是分段函數(shù)，分段求出最大值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取最大值時對應(yīng)的自變量x的值，比較兩段的最大值即可求出所求．
（3）令利潤函數(shù)不小于，能夠求出年產(chǎn)量是多少時，工廠才不虧本．

解答：解：（1）∵某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，
每生產(chǎn)一百件這樣的產(chǎn)品，需要增加可變成本0.25萬元，
公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x（x∈N）百件，
銷售的收入函數(shù)為R(t)=5t-

t2

2

(0≤t≤5，t∈N)，
∴當(dāng)0≤x≤5，x∈Z時，
f（x）=5x-

x2

2

-0.5-0.25x=-0.5+4.75x-

x2

2

，
當(dāng)x＞5，x∈Z時，
f（x）=25-

25

2

-0.5-0.25x=12-0.25x，
∴f（x）=

-0.5+0.475x- x2 2 ，0≤x≤5，x∈Z 12-0.25x，x＞5，x∈Z

．
（2）當(dāng)0≤x≤5時，y=-0.5+4.75x-

x2

2

，
∵拋物線開口向下，對稱軸x=4.75，
∴當(dāng)x=5時，y有最大值10.75；
當(dāng)x＞5時，∵y=12-0.25x是減函數(shù)，
∴x=6時，y有最大值10.50．
綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為500件時，工廠所得利潤最大．
（3）當(dāng)0≤x≤5時，由y=-0.5+4.75x-

x2

2

≥0，得0≤x≤5，x∈Z；
當(dāng)x＞5時，由y=12-0.25x≥0，得5＜x≤48，x∈Z．
當(dāng)年產(chǎn)量x滿足1≤x≤48，x∈Z時，工廠不虧本．

點評：本題考查了函數(shù)的生產(chǎn)生活中的實際應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意二次函數(shù)和分段函數(shù)性質(zhì)的合理運用．