Question

【題目】如圖，已知拋物線：與圓： （）相交于， ， ，四個(gè)點(diǎn)，

（1）求的取值范圍；

（2）設(shè)四邊形的面積為，當(dāng)最大時(shí)，求直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

將拋物線方程與圓方程聯(lián)立,消去得到關(guān)于的一元二次方程, 拋物線與圓有四個(gè)交點(diǎn)需滿足關(guān)于的一元二次方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,根據(jù)二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即可得到關(guān)于的不等式組,解不等式即可.

不妨設(shè)拋物線與圓的四個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，據(jù)此可表示出直線、的方程,聯(lián)立方程即可表示出點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)等腰梯形的面積公式可得四邊形的面積的表達(dá)式,令,由及知,對(duì)關(guān)于的面積函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性和最值,即可求出四邊形的面積取得最大值時(shí)的值,進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo).

（1）聯(lián)立拋物線與圓的方程

消去，得.

由題意可知在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

所以解得，

所以的取值范圍為.

（2）根據(jù)（1）可設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，（），

則，，，，

且，，

所以直線、的方程分別為

，

,

聯(lián)立方程可得,點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)樗倪呅?/span>為等腰梯形,

所以

，

令，則，

所以，

因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

即當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最大值，

因?yàn)?/span>,點(diǎn)的坐標(biāo)為,

所以當(dāng)四邊形的面積取得最大值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為.