Question

已知函數(shù)f（x）=3^x+3^-x，g（x）=

x

2

+log₃（1+3^-x）．
（1）用定義證明：函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，0]上為減函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）若g（x）≤

1

2

log₃f（x）+a對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，作差g（x₁）-g（x₂），利用對數(shù)的性質(zhì)化簡變形，到能直接判斷符號(hào)為止，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證得結(jié)論函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，0]上為減函數(shù)，同理可證，在區(qū)間[0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可證得答案；
（3）欲使g（x）≤

1

2

log₃f（x）+a對一切實(shí)數(shù)x恒成立，只需a≥[g（x）-

1

2

log₃f（x）]_max，利用對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，最后利用基本不等式求出右側(cè)函數(shù)的最大值即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵g（x）=

x

2

+log₃（1+3^-x），
設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，
∴g（x₁）-g（x₂）=

x1

2

+log3(1+3-x1)-

x2

2

-log3(1+3-x2)
=

x1-x2

2

+log3

3x1+x2+3x2

3x1+x2+3x1

=log3[3

x1-x2

2

•

3x1+x2+3x2

3x1+x2+3x1

]
=log3

3x1+3 x1+x2 2

3x1+3x1+x2

，
∵x₁＜x₂≤0，
則x₁+x₂＜0，x₁+x₂＜

x1+x2

2

，
∴3x1+x2＜3

x1+x2

2

，
∴

3x1+3 x1+x2 2

3x1+3x1+x2

＞1，
∴log3

3x1+3 x1+x2 2

3x1+3x1+x2

＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，0]上為減函數(shù)，
同理可證，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，+∞）上為增函數(shù)，
故函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，0]上為減函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）f（x）為R上的奇函數(shù)．
證明：∵f（x）=3^x-3^-x，則定義域?yàn)镽，
∴f（-x）=3^-x-3^x=-（3^x-3^-x）=-f（x），
根據(jù)奇函數(shù)的定義，可得f（x）為R上的奇函數(shù)；
（3）∵f（x）=3^x+3^-x，g（x）=

x

2

+log₃（1+3^-x），
∴

x

2

+log₃（1+3^-x）≤

1

2

log₃（3^x+3^-x）+a對一切實(shí)數(shù)x恒成立，
則a≥log₃3

x

2

+log₃（1+3^-x）-

1

2

log₃（3^x+3^-x）=log₃（

3 x 2 +3- x 2

3x+3-x

），
不妨令a=3

x

2

，b=3-

x

2

，則

3 x 2 +3- x 2

3x+3-x

=

a+b

a2+b2

≤

2(a2+b2)

a2+b2

=

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，即x=0時(shí)取等號(hào)，
∴a≥log₃

2

，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍a≥log₃

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，奇偶性的判斷一般應(yīng)用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．本題還考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號(hào)，下結(jié)論．同時(shí)考查了函數(shù)求值以及函數(shù)的恒成立問題．對于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．屬于難題．