Question

【題目】已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿(mǎn)足2f（x）+xf′（x）＞x2（x∈R），則對(duì)x∈R都有（ ）
A.x2f（x）≥0
B.x2f（x）≤0
C.x2[f（x）﹣1]≥0
D.x2[f（x）﹣1]≤0

Answer 1

【答案】A
【解析】解：構(gòu)造函數(shù)F（x）=x2f（x），
則F'（x）=2xf（x）+x2f'（x）=x（2f（x）+xf'（x）），
當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)'（x）＞x3＞0，F(xiàn)（x）遞增；
當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)'（x）＜x3＜0，F(xiàn)（x）遞減，
所以F（x）=x2f（x）在x=0時(shí)取最小值，
從而F（x）=x2f（x）≥F（0）=0，
故選A．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．