Question

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，向量，（）滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），若，，（）成等差數(shù)列，求和的值；
(3)．如果等比數(shù)列滿足，公比滿足，且對(duì)任意正整數(shù)，仍是該數(shù)列中的某一項(xiàng)，求公比的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

試題分析：（1）由可以得到，即，利用，可得，即是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式；
（2）由是等差數(shù)列可得，即，整理得，根據(jù)m,t是正整數(shù)，所以t-1只可能是1,2,4，從而解得；
（3）易知，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051757518652.png" style="vertical-align:middle;" />仍是該數(shù)列中的某一項(xiàng)，所以是該數(shù)列中的某一項(xiàng)，又是q的幾次方的形式，所以也是q的幾次方的形式，而，所以，所以只有可能是q，，所以，所以．
（1）∵，∴，∴①
當(dāng)n=1，有，是正項(xiàng)數(shù)列，∴
當(dāng)，有②，
①-②，得，，∴，
∴數(shù)列以，公差為2的等差數(shù)列，；
（2）易知，∵是等差數(shù)列，
即，∴，整理得，
∵m,t是正整數(shù)，所以t只可能是2,3,5，∴；
易知，∵仍是該數(shù)列中的某一項(xiàng)，記為第t項(xiàng)，∴，即，∵，∴，
，又∵，∴只有t-k=1，即，解得