Question

如圖，在四面體S-ABC中，E、F、G、H、M、N分別是棱SA、BC、AB、SC、AC、SB的中點，且EF=GH=MN，求證：SA⊥BC，SB⊥AC，SC⊥AB．

Answer 1

分析：本題是一個證明線線垂直的問題，可以取SA，SB，SC三個有向線段對應的向量為基向量，將SA，BC，SB，AC，SC，AB這六個線段對應的向量用基向量表示出來利用數量積為0證明線線垂直．

解答：證明：如圖，設

SA

=

r1

，

SB

=

r2

，

SC

=

r3

，則

SE

，

SF

，

SG

，

SH

，

SM

，

SN

分別為

1

2

r1

，

1

2

(

r2

+

r3

)，

1

2

(

r1

+

r2

)，

1

2

r3

，

1

2

(

r1

+

r3

)，

1

2

r2

…（4分）
由條件EF=GH=MN得：(

- r1 + r2 + r3

2

)2=(

r1 + r2 - r3

2

)2=(

r1 - r2 + r3

2

)2
展開得

r1

•

r2

=

r2

•

r3

=

r1

•

r3

 …（7分）
∴

r1•

(

r2

-

r3

)=0∵

r1

≠

0

，

r2

-

r3

≠

0

…（9分）
∴

r1

⊥(

r2

-

r3

)，即SA⊥BC…（12分）
同理可證SB⊥AC，SC⊥AB…（14分）

點評：本題考查用向量語言表述線線的垂直關系，解題的關鍵是將垂直證明問題轉化為向量運算，利用向量的數量積為0證明線線垂直，利用空間向量證明幾何問題是向量的重要運用，在近幾年的高考中，這是一個比較熱的考點