Question

【題目】如圖，過拋物線（）上一點(diǎn)，作兩條直線分別交拋物線于點(diǎn)，，若與的斜率滿足.

（1）證明：直線的斜率為定值，并求出該定值；

（2）若直線在軸上的截距，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）.

【解析】

（1）由拋物線（）過點(diǎn)，求得，設(shè)，，由，得到，利用點(diǎn)差法可得（）=，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得，，利用點(diǎn)到直線距離公式、弦長(zhǎng)公式，由三角形面積公式可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性可得三角形面積的最大值.

（1）由拋物線（）過點(diǎn)，得，即.

設(shè)，，因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，，代入上式得到，

通分整理得，

設(shè)直線的斜率為，由，，

兩式相減可化為

得（）=.

由于，將其代入上式得.

（2）設(shè)直線的方程為，

由，

得，

因?yàn)?/span>，所以，且，，

所以.

又點(diǎn)到直線的距離為，

所以.

令，其中，

則由，

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)，，所以單調(diào)遞增，故的最大值為，

故的面積的最大值為.