Question

(本小題共14分)已知是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對任意，①方程有實數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足．

（Ⅰ）判斷函數(shù)是否是集合中的元素，并說明理由；

（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域為，則對于任意，都存在，使得等式成立．試用這一性質(zhì)證明：方程有且只有一個實數(shù)根；

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）因為①當時，，

所以方程有實數(shù)根0；

②，

所以，滿足條件；

由①②，函數(shù)是集合中的元素.          …………7分

（Ⅱ）假設(shè)方程存在兩個實數(shù)根），則.

不妨設(shè)，根據(jù)題意存在，

滿足.

因為，，且，所以.

與已知矛盾.又有實數(shù)根，

所以方程有且只有一個實數(shù)根.                 …………14分

【解析】本題是一道以集合為背景的創(chuàng)新題，考查函數(shù)的性質(zhì)和不等式的證明。考查學(xué)生的理解能力和分析能力。讀懂題意是解題的前提，解題是注意分類討論思想的應(yīng)用。