Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值為m．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c是正實數(shù)，且滿足a+b+c=m，求證：a2+b2+c2≥3．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）﹣（x﹣2）=3

當(dāng)且僅當(dāng)﹣1≤x≤2時，等號成立，

所以f（x）的最小值等于3，即m=3

（2）證明：由（1）知a+b+c=3，又a，b，c是正實數(shù)，

所以（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=9，

所以a2+b2+c2≥3

【解析】（1）|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）﹣（x﹣2）=3，即可求m的值；（2）由（1）知a+b+c=3，再由三元柯西不等式即可得證．
【考點精析】通過靈活運用絕對值不等式的解法和不等式的證明，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等即可以解答此題．