Question

（1+x）ⁿ的展開式中，x^k的系數(shù)可以表示從n個(gè)不同物體中選出k個(gè)的方法總數(shù)．下列各式的展開式中x⁸的系數(shù)恰能表示從重量分別為1，2，3，4，…，10克的砝碼（每種砝碼各一個(gè)）中選出若干個(gè)，使其總重量恰為8克的方法總數(shù)的選項(xiàng)是（　�。�

A．（1+x）（1+x²）（1+x³）…（1+x¹⁰）

B．（1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+10x）

C．（1+x）（1+2x²）（1+3x³）…（1+10x¹⁰）

D．（1+x）（1+x+x²）（1+x+x²+x³）…（1+x+x²+…+x¹⁰）

Answer 1

分析：x⁸是由x、x²、x³、x⁴、x⁵、x⁶、x⁷、x⁸、x⁹、x¹⁰ 中的、指數(shù)和等于8 的那些項(xiàng)的乘積構(gòu)成，有多少種這樣的乘積，就有多少個(gè) x⁸．而各個(gè)這樣的乘積，分別對應(yīng)從重量1、2、3、…10克的砝碼（每種砝碼各一個(gè)）中，選出若干個(gè)表示8克的方法，從而得出結(jié)論．

解答：解：x⁸是由x、x²、x³、x⁴、x⁵、x⁶、x⁷、x⁸、x⁹、x¹⁰ 中的、
指數(shù)和等于8 的那些項(xiàng)的乘積構(gòu)成，
有多少種這樣的乘積，就有多少個(gè) x⁸．
各個(gè)這樣的乘積，分別對應(yīng)從重量1、2、3、…10克的砝碼（每種砝碼各一個(gè)）中，
選出若干個(gè)表示8克的方法．
故“從重量1、2、3、…10克的砝碼（每種砝碼各一個(gè)）中選出若干個(gè)．
使其總重量恰為8克的方法總數(shù)”，
就是“（1+x）（1+x²）（1+x³）…（1+x¹⁰）”的展開式中x⁸的系數(shù)”，
故選 A．

點(diǎn)評：本題主要考查排列、組合、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．