Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²x+sin2x，x∈[0，2π]．求使f（x）為正值的x的集合．

Answer 1

分析：法一：化簡函數(shù)f（x）=2sin²x+sin2x，令其大于0，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出x的范圍．
法二：可以對函數(shù)分解因式，分類討論函數(shù)的正負(fù)，求出適合條件的x的范圍即可．

解答：解：法一：∵f（x）=1-cos2x+sin2x（2分）=1+

2

sin(2x-

π

4

)（4分）
∴f(x)＞0?1+

2

sin(2x-

π

4

)＞0?sin(2x-

π

4

)＞-

2

2

（6分）
?-

π

4

+2kπ＜2x-

π

4

＜

5π

4

+2kπ（8分）?kπ＜x＜

3π

4

+kπ（10分）
又x∈[0，2π]．
∴x∈(0，

3π

4

)∪(π，

7π

4

)（12分）
法二：f（x）=2sin²x+sin2x=2sin²x+2sinxcosx=2sinx（sinx+cosx）
f（x）為正值當(dāng)且僅當(dāng)sinx與sinx+cosx同號，
在x∈[0，2π]上，
若sinx與sinx+cosx均為正值，則x∈(0，

3π

4

)；
若sinx與sinx+cosx均為負(fù)值，則x∈(π，

7π

4

)
所以所求x的集合為(0，

3π

4

)∪(π，

7π

4

)．

點(diǎn)評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，兩角和與差的正弦函數(shù)，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．