Question

【題目】已知橢圓與軸，軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線AB的距離為該橢圓的離心率為

（1）求橢圓的方程

（2）是否存在過(guò)點(diǎn)P（的直線與橢圓交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)，使成立？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在符合條件的直線的方程為．

【解析】

試題（1）由題意得，直線的方程為由及，得即可求出橢圓的方程為；（2），.①

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，易知符合條件，此時(shí)直線的方程為當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入得

由韋達(dá)定理即可求出結(jié)果.

試題解析：解：（1）由題意得，直線的方程為（1分）

由及，得（3分）

所以橢圓的方程為（4分）

（2），. ① （6分）

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，易知符合條件，此時(shí)直線的方程為（8分）

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入得

由，解得.

設(shè)，則， ②

， ③ （10分）

由①得④

由②③④消去，得，即，無(wú)解.

綜上存在符合條件的直線（12分）.