Question

已知P是拋物線x²=4y上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l₁：4x-3y-7=0和l₂：y+2=0的距離之和的最小值是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)P的坐標(biāo)為（a，

1

4

a²），利用點(diǎn)到直線的距離公式分別算出P到直線l₁的距離d₁=

1

5

（

3

4

a²-4a+7）和P到直線l₂的距離d₂=

1

4

a²+2，得到d₁+d₂關(guān)于a的二次函數(shù)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出d₁+d₂的最小值，從而得到答案．

解答：解：由P是拋物線x²=4y上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，

1

4

a²），
∴點(diǎn)P到直線l₁：4x-3y-7=0的距離d₁=

|4a- 3 4 a2 -7|

42+(-3)2

=

|4a- 3 4 a2-7|

5

，
點(diǎn)P到直線l₂：y+2=0的距離d₂=

1

4

a²+2．
由此可得兩個(gè)距離之和為
d₁+d₂=

|4a- 3 4 a2-7|

5

+a²+2=

1

5

（

3

4

a²-4a+7）+

1

4

a²+2=

2

5

a²-

4

5

a+

17

5

=

2

5

（a-2）²+3，
∴當(dāng)a=2時(shí)，d₁+d₂的最小值是3，即所求兩個(gè)距離之和的最小值是3．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P，求P到兩條直線l₁、l₂的距離之和的最小值，著重考查了點(diǎn)到直線的距離公式、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．