Question

過(guò)雙曲線x2-

y2

3

=1的右焦點(diǎn)F作傾角為

π

4

的弦AB，求弦長(zhǎng)|AB|及線段AB的中點(diǎn)C到F的距離．

Answer 1

∵雙曲線的方程為x²-

y2

3

=1，
∴c²=1+3=4，
∴右焦點(diǎn)F（2，0），
∵過(guò)右焦點(diǎn)的傾斜角為

π

4

的直線與雙曲線x²-

y2

3

=1交于A、B兩點(diǎn)，
∴AB的方程為：y-0=（x-2），即y=x-2．
∴k_AB=1．
由

x2- y2 3 =1 y=x-2

得：2x²+4x-7=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程2x²+4x-7=0的兩根，
由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=-2，x₁x₂=-

7

2

，
∴AB的中點(diǎn)C（-1，-3）；
∴由弦長(zhǎng)公式得：|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+kAB2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(-2)2-4(- 7 2 )

=6．
∴|CF|=

(-1-2)2+(-3-0)2

=3

2

．