Question

【題目】某地計劃在水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量（年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.

（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；

（2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數受年入流量限制，并有如下關系：

年入流量
發(fā)電機最多可運行臺數	1	2	3

若某臺發(fā)電機運行，則該臺發(fā)電機年凈利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺發(fā)電機年維護費與年入流量有如下關系：

年入流量
一臺未運行發(fā)電機年維護費	500	800

欲使水電站年凈利潤最大，應安裝發(fā)電機多少臺？

Answer 1

【答案】（1）；（2）應安裝發(fā)電機2臺.

【解析】

（1）由題意求出年入流量在3個范圍：，，的概率.由二項分布可得在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率；

（2）記水電站年凈利潤為（單位：萬元）.分別求安裝1臺發(fā)電機、安裝2臺發(fā)電機、安裝3臺發(fā)電機的數學期望，選擇最大的方案.

（1）依題意，，

，

由二項分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為：

.

（2）記水電站年凈利潤為（單位：萬元）

①當安裝1臺發(fā)電機時.

由于水庫年入流量總大于40，所以1臺發(fā)電機運行的概率為1.

此時的年凈利潤，；

②當安裝2臺發(fā)電機時.此時，

若，則只有1臺發(fā)電機運行，此時，因此

若，則2臺發(fā)電機都能運行，此時，因此

由此得的概率分布列如下：

	4500	10000
	0.2	0.8

所以，.

③當安裝3臺發(fā)電機時.此時，

若，則只有1臺發(fā)電機運行，此時，因此

若，則有2臺發(fā)電機運行，此時，因此

若，則3臺發(fā)電機同時運行，此時，因此

由此得的概率分布列如下：

	4000	9200	15000
	0.2	0.7	0.1

所以，

綜上，欲使水電站年凈利潤最大，應安裝發(fā)電機2臺.