Question

【題目】已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列{an}（n∈N*），首項(xiàng)a1=3，前n項(xiàng)和為Sn ， 且S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意公比為正數(shù)的等比數(shù)列{an}（n∈N*），首項(xiàng)a1=3，

設(shè)an=3qn﹣1，

因?yàn)镾3+a3、S5+a5、S4+a4成等差數(shù)列，

所以2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，

即2（a1+a2+a3+a4+2a5）=（a1+a2+2a3+（a1+a2+a3+2a4），

化簡得4a5=a3，

從而4q2=1，解得q=± ，

因?yàn)閧an}（n∈N*）公比為正數(shù)，

所以q= ，an=6×（ ）n，n∈N*；

（2）解：bn= =n（ ）n，

則Tn=1（ ）+2（ ）2+3（ ）3++（n﹣1）（ ）n﹣1+n（ ）n，

Tn=1（ ）2+2（ ）3+3（ ）4++（n﹣1）（ ）n+n（ ）n+1，

兩式相減可得 Tn= +（ ）2+（ ）3+（ ）4++（ ）n﹣n（ ）n+1

= ﹣n（ ）n+1，

化簡可得Tn=2﹣（n+2）（ ）n．

【解析】（1）設(shè)公比為q＞0，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得q，即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）求得bn= =n（ ）n，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．