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        1. 已知橢圓C:3x2+4y2=12,試確定m的取值范圍,使得對于直線l:y=4x+m,橢圓C上有不同的兩點關(guān)于這條直線對稱.

          思路分析:解此題的關(guān)鍵是構(gòu)造不等式來求m的范圍,一般采用判別式,或點與曲線的位置關(guān)系.

          解法一:設(shè)橢圓C上關(guān)于直線l對稱的兩點為P(x1,y1)、Q(x2,y2),其所在直線方程為y=-x+b,代入橢圓方程3x2+4y2=12.

              整理得13x2-8bx+16b2-48=0,

          ∵x1≠x2,

          ∴Δ=-12(4b2-13)>0.

          解得-<b<.                                                         ①

          又∵,

          而點()又在直線y=4x+m上,

          ∴m=.                                            ②

          把①代入②得m的取值范圍是-<m<.

          解法二:由解法一知2x0=x1+x2=,x1x2=.

          其中PQ的中點坐標為M(x0,y0),

          消去y0,把x0=b代入可解得m=-b,x0=-m,

          根據(jù)中點M的位置,必有(x1-x0)(x2-x0)<0,即x1x2-x0(x1+x2)+x02<0.

          由此解得-<m<.

          解法三:設(shè)橢圓上關(guān)于l對稱的兩點為P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ的中點M(x0,y0).

          則可求得.                                           ①

          又點M在l上,

          ∴y0=4x0+m.                                                               ②

          由①②聯(lián)立解得x0=-m,y0=-3m.

          ∵M(-m,-3m)在橢圓的內(nèi)部,

          ∴3(-m)2+4(-3m)2<12,

          解得-<m<.


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