Question

已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1．
（1）求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)拋物線(xiàn)C焦點(diǎn)的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，如果要同時(shí)滿(mǎn)足：①|(zhì)AB|≤8；②直線(xiàn)l與橢圓3x²+2y²=2有公共點(diǎn)，試確定直線(xiàn)l傾斜角的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為y²=2px，（p＞0），已知準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1，可得-

p

2

=-1，即可解得p；
（2）由拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程y²=4x，可得焦點(diǎn)F（1，0）．設(shè)直線(xiàn)l傾斜角為α，以下分類(lèi)討論：
（i）當(dāng)直線(xiàn)l⊥x軸時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|=2p=4．滿(mǎn)足：聯(lián)立

x=1 3x2+2y2=2

，無(wú)解，因此不滿(mǎn)足條件直線(xiàn)l與橢圓3x²+2y²=2有公共點(diǎn)，故直線(xiàn)l傾斜角α≠

π

2

．
（ii）當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1）．（k≠0）．與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式|AB|=x₁+x₂+p≤8，得到k的一個(gè)范圍；與橢圓的方程聯(lián)立得到△≥0，由得到k的一個(gè)范圍，與上面的聯(lián)立即可得出，進(jìn)而得到α的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為y²=2px，（p＞0），∵準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1，∴-

p

2

=-1，解得p=2．
∴拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x；
（2）由拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程y²=4x，可得焦點(diǎn)F（1，0）．
設(shè)直線(xiàn)l傾斜角為α，以下分類(lèi)討論：
（i）當(dāng)直線(xiàn)l⊥x軸時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|=2p=4．滿(mǎn)足：①|(zhì)AB|≤8；
②聯(lián)立

x=1 3x2+2y2=2

，無(wú)解，因此不滿(mǎn)足條件直線(xiàn)l與橢圓3x²+2y²=2有公共點(diǎn)，故直線(xiàn)l傾斜角α≠

π

2

．
（ii）當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1）．（k≠0）．
聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，化為k²x²-（2k²+4）x+k²=0．∴x1+x2=

2k2+4

k2

，
∴|AB|=x₁+x₂+p=

2k2+4

k2

+2≤8，化為k²≥1．①
聯(lián)立

y=k(x-1) 3x2+2y2=2

，化為（3+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
若直線(xiàn)l與橢圓3x²+2y²=2有公共點(diǎn)，則△=16k⁴-4（3+2k²）（2k²-2）≥0，化為k²≤3，②．
聯(lián)立①②可得：1≤k²≤3，解得-

3

≤k≤-1或1≤k≤

3

．
∴

2π

3

≤α≤

3π

4

或

π

4

≤α≤

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、△≥0、直線(xiàn)的斜率與傾斜角的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．