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        1. 已知拋物線的焦點F在y軸上,拋物線上一點A(a,4)到準線的距離是5,過點F的直線與拋物線交于M,N兩點,過M,N兩點分別作拋物線的切線,這兩條切線的交點為T.
          (I)求拋物線的標準方程;
          (II)求
          FT
          MN
          的值;
          (III)求證:|
          FT
          |是|
          MF
          |和|
          NF
          |
          的等比中項.
          (I)由題意可設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p≠0).
          因為點A(a,4)在拋物線上,所以p>0.
          又點A(a,4)到拋物線準線的距離是5,所以
          p
          2
          +4=5,可得p=2.
          所以拋物線的標準方程為x2=4y.

          (II)點F為拋物線的焦點,則F(0,1).
          依題意可知直線MN不與x軸垂直,
          所以設(shè)直線MN的方程為y=kx+1.
          y=kx+1
          x2=4y.
          x2-4kx-4=0.

          因為MN過焦點F,所以判別式大于零.
          設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).
          則x1+x2=4k,x1x2=-4.
          MN
          =(x2-x1y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1)).

          由于x2=4y,所以y′=
          1
          2
          x.

          切線MT的方程為y-y1=
          1
          2
          x1(x-x1)
          ,①
          切線NT的方程為y-y2=
          1
          2
          x2(x-x2).

          由①,②,得T(
          x1+x2
          2
          x1x2
          4
          )

          FT
          =T(
          x1+x2
          2
          ,
          x1x2
          4
          -1)=(2k,-2)

          所以
          FT
          MN
          =0.


          (III)證明:|
          FT
          |2=(2k)2+(-2)2=4k2+4.

          由拋物線的定義知|
          MF
          |=y1+1,|
          NF
          |=y2+1.

          則|
          MF
          |•|
          NF
          |=(y1+1)(y2+1)=(kx1+2)(kx2+2)

          =k2x1x2+2k(x1+x2)+4=4k2+4.
          所以|
          FT
          |2=|
          MF
          |•|
          NF
          |.

          |
          FT
          |是|
          MF
          |和|
          NF
          |
          的等比中項.
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知拋物線的焦點F在y軸上,拋物線上一點A(a,4)到準線的距離是5,過點F的直線與拋物線交于M,N兩點,過M,N兩點分別作拋物線的切線,這兩條切線的交點為T.
          (I)求拋物線的標準方程;
          (II)求
          FT
          MN
          的值;
          (III)求證:|
          FT
          |是|
          MF
          |和|
          NF
          |
          的等比中項.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知拋物線的焦點F在x軸上,直線l過點F且垂直于x軸,l與拋物線交于A、B兩點,O為坐標原點,若△OAB的面積等于4,求此拋物線的標準方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          已知拋物線的焦點F在y軸上,拋物線上一點A(a,4)到準線的距離是5,過點F的直線與拋物線交于M,N兩點,過M,N兩點分別作拋物線的切線,這兩條切線的交點為T.
          (I)求拋物線的標準方程;
          (II)求數(shù)學(xué)公式的值;
          (III)求證:數(shù)學(xué)公式的等比中項.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知拋物線的焦點F在x軸上,直線l過點F且垂直于x軸,l與拋物線交于A、B兩點,O為坐標原點,若△OAB的面積等于4,求此拋物線的標準方程.

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