Question

已知數(shù)列，滿足，，，．
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，對于任意給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)，()，使得，，成等差數(shù)列？若存在，試用表示，；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1），（2）當(dāng)時(shí)，不存在，滿足題設(shè)條件；當(dāng)時(shí)，存在，，滿足題設(shè)條件．

試題分析：（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，就是確定為一個(gè)常數(shù).因此首先得到關(guān)于與的關(guān)系式，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045128858535.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，則，然后按提示，將所求關(guān)系式進(jìn)行變形，即取倒數(shù)，得：，又，所以，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即，所以.（2）先明確數(shù)列，由(1)得，所以，然后假設(shè)存在，得一等量關(guān)系：若，，成等差數(shù)列，則，如何變形，是解題的關(guān)鍵，這直接影響解題方向.題中暗示，用p表示，所以由得：.令得，因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045129185427.png" style="vertical-align:middle;" />，所以分情況討論，當(dāng)時(shí)，，，，成等差數(shù)列不成立．當(dāng)時(shí)，，，即．
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045128858535.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
則，                  2分
所以，
又，所以，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，       4分
即，所以．                         6分
（2）由（1）知，所以，
①當(dāng)時(shí)，，，，
若，，成等差數(shù)列，則（），
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045129841504.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，，，
所以（）不成立．                                                   9分
②當(dāng)時(shí)，若，，成等差數(shù)列，
則，所以，
即，所以，                       12分
欲滿足題設(shè)條件，只需，此時(shí)，                 14分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045128733456.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，
即．                                                           15分
綜上所述，當(dāng)時(shí)，不存在，滿足題設(shè)條件；
當(dāng)時(shí)，存在，，滿足題設(shè)條件．  16分