Question

己知函數(shù)f（x）=（mx+n）e^-x在x=1處取得極值e^-1
（I ）求函數(shù)f（x）的解析式，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II ）當(dāng)．x∈（a，+∞）時(shí)，f（2x-a）+f（a）＞2f（x），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)f（x）=（mx+n）e^-x在x=1處取得極值e^-1，得到f（1）=e^-1，f′（1）=0，聯(lián)立后求得m和n的值，則函數(shù)解析式可求，代入導(dǎo)函數(shù)后由導(dǎo)函數(shù)大于0和導(dǎo)函數(shù)小于0求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（2x-a）+f（a）-2f（x），求導(dǎo)后分析f^′（x）的單調(diào)性，然后對(duì)a分類討論，根據(jù)a的范圍得到g^′（x）的符號(hào)并判斷g（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性得到a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=（mx+n）e^-x，得
f′（x）=-（mx+n-m）e^-x．
依題意，f（1）=e^-1，f′（1）=0，即
，解得m=1，n=0．
所以f（x）=xe^-x．
f′（x）=-（x-1）e^-x．
當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．
所以，函數(shù)f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（2x-a）+f（a）-2f（x），則g′（x）=2[f′（2x-a）-f′（x）]．
設(shè)h（x）=f′（x）=-（x-1）e^-x，則h′（x）=（x-2）e^-x．
當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
（1）若a≥2，則當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，2x-a＞x，h（2x-a）＞h（x），即f′（2x-a）＞2f′（x），
所以g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）單調(diào)遞增，此時(shí)g（x）＞g（a）=0，
即f（2x-a）+f（a）-2f（x）＞0．
（2）若a＜2，則當(dāng)x∈（a，）時(shí)，2x-a＞x，h（2x-a）＜h（x），即f′（2x-a）＜2f′（x），
所以g′（x）＜0，g（x）在（a，2）單調(diào)遞減，此時(shí)g（x）＜g（a）=0．
綜上，a的取值范圍是[2，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．