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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bln(2x+1),其中b≠0.
          (1)若己知函數(shù)f(x)是增函數(shù),求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
          (2)若己知b=1,求證:對任意的正整數(shù)n,不等式n<f(n)恒成立.
          分析:(1)首先考慮函數(shù)的定義域,然后利用函數(shù)f(x)是增函數(shù),可知導(dǎo)數(shù)大于等于0在(-
          1
          2
          ,+∞)上恒成立即可求解;
          (2)先構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-x=x2-x+ln(2x+1),可說明g(x)在整個(gè)定義域(-
          1
          2
          ,+∞)上是增函數(shù),從而問題得證.
          解答:解:(1)由題意知,f(x)的定義域?yàn)椋?
          1
          2
          ,+∞),f/(x)=
          4x2+2x+2b
          2x+1

          ∵函數(shù)f(x)是增函數(shù),∴f/(x)=
          4x2+2x+2b
          2x+1
          ≥0
          在(-
          1
          2
          ,+∞)上恒成立,
          ∴4x2+2x+2b≥0在(-
          1
          2
          ,+∞)上恒成立,即b≥-2x2-x在(-
          1
          2
          ,+∞)上恒成立
          又∵-2x2-x≤
          1
          8
          ,當(dāng)且僅當(dāng)x=-
          1
          4
          時(shí),等號成立,∴b≥
          1
          8

          (Ⅱ)∵b=1,∴f(x)=x2+ln(2x+1)
          設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-x=x2-x+ln(2x+1),則g(x)的定義域也是(-
          1
          2
          ,+∞),并且g/(x)=
          4x2+1
          2x+1
          >0
           
          ∴g(x)在整個(gè)定義域(-
          1
          2
          ,+∞)上是增函數(shù).
          ∴對任意的正整數(shù)n,有g(shù)(n)>g(0)恒成立
          即對任意的正整數(shù)n,f(n)-n>0,也即不等式n<f(n)恒成立.
          點(diǎn)評:本題主要考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力,函數(shù)恒成立條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化處理是關(guān)鍵
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=x2+|x-2|-1,x∈R.
          (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
          (2)求函數(shù)f(x)的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a.若存在x0∈R,使得f(x0)<0與g(x0)<0同時(shí)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.(注:(ln(x+1))′=
          1x+1
          ).
          (1)討論f(x)的單調(diào)性.
          (2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,求f(x2)的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
          (1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線為y=x,求實(shí)數(shù)m的值;
          (2)當(dāng)m=2時(shí),若方程f(x)-h(x)=0在[1,3]上恰好有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x+aln(x+1),其中a≠0.
          (1)若a=-6,求f(x)在[0,3]上的最值;
          (2)若f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)求證:不等式ln
          n+1
          n
          n-1
          n3
          (n∈N*)恒成立.

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          同步練習(xí)冊答案