Question

設函數(shù)f（x）=x²+bln（2x+1），其中b≠0．
（1）若己知函數(shù)f（x）是增函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）若己知b=1，求證：對任意的正整數(shù)n，不等式n＜f（n）恒成立．

Answer 1

分析：（1）首先考慮函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)f（x）是增函數(shù)，可知導數(shù)大于等于0在（-

1

2

，+∞）上恒成立即可求解；
（2）先構造函數(shù)g（x）=f（x）-x=x²-x+ln（2x+1），可說明g（x）在整個定義域（-

1

2

，+∞）上是增函數(shù)，從而問題得證．

解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（-

1

2

，+∞），f/(x)=

4x2+2x+2b

2x+1

∵函數(shù)f（x）是增函數(shù)，∴f/(x)=

4x2+2x+2b

2x+1

≥0在（-

1

2

，+∞）上恒成立，
∴4x²+2x+2b≥0在（-

1

2

，+∞）上恒成立，即b≥-2x²-x在（-

1

2

，+∞）上恒成立
又∵-2x2-x≤

1

8

，當且僅當x=-

1

4

時，等號成立，∴b≥

1

8

（Ⅱ）∵b=1，∴f（x）=x²+ln（2x+1）
設函數(shù)g（x）=f（x）-x=x²-x+ln（2x+1），則g（x）的定義域也是（-

1

2

，+∞），并且g/(x)=

4x2+1

2x+1

＞0 
∴g（x）在整個定義域（-

1

2

，+∞）上是增函數(shù)．
∴對任意的正整數(shù)n，有g（n）＞g（0）恒成立
即對任意的正整數(shù)n，f（n）-n＞0，也即不等式n＜f（n）恒成立．

點評：本題主要考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的能力，函數(shù)恒成立條件的等價轉化處理是關鍵