Question

（2009•重慶模擬）過原點(diǎn)的直線交雙曲線x²-y²=4

2

與P、Q兩點(diǎn)，現(xiàn)將坐標(biāo)平面沿直線y=-x折成直二面角，則折后線段PQ的長(zhǎng)度的最小值等于（　　）

• A．2

  2

• B．3

  2

• C．4

  2

• D．4

Answer 1

分析：將雙曲線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°角，可得雙曲線y=

2 2

x

的圖象．問題轉(zhuǎn)化為：過原點(diǎn)的直線交雙曲線y=

2 2

x

于P、Q兩點(diǎn)將坐標(biāo)平面沿直線y軸折成直二面角，求折后線段PQ的長(zhǎng)度的最小值．設(shè)P（t，

2 2

t

），其中t＞0，作PM⊥y軸于M，連結(jié)MQ．利用兩點(diǎn)間的距離公式、面面垂直的性質(zhì)和勾股定理，算出|PQ|²=2t²+

32

t2

，最后利用基本不等式加以計(jì)算，即可求出折后線段PQ的長(zhǎng)度的最小值．

解答：解：∵雙曲線x²-y²=4

2

是等軸雙曲線，以直線y=±x為漸近線
∴將雙曲線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°角，可得雙曲線y=

m

x

的圖象
∵雙曲線x²-y²=4

2

的頂點(diǎn)（

4	32

，0），逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°
變?yōu)辄c(diǎn)（

4	8

，

4	8

）
∴點(diǎn)（

4	8

，

4	8

）在y=

m

x

的圖象上，可得m=

4	8

•

4	8

=2

2

，
即雙曲線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°角，得到雙曲線y=

2 2

x

的圖象
問題轉(zhuǎn)化為：過原點(diǎn)的直線交雙曲線y=

2 2

x

于P、Q兩點(diǎn)
將坐標(biāo)平面沿直線y軸折成直二面角，求折后線段PQ的長(zhǎng)度的最小值
設(shè)P（t，

2 2

t

）（t＞0），過點(diǎn)P作PM⊥y軸于M，連結(jié)MQ，
可得M（0，

2 2

t

），Q（-t，-

2 2

t

），
|MQ|=

(0+t)2+( 2 2 t + 2 2 t )2

=

t2+ 32 t2

在折疊后的圖形中，Rt△PMQ中，|PM|=t，
得|PQ|²=|PM|²+|MQ|²=2t²+

32

t2

≥2

2t2• 32 t2

=16，
當(dāng)且僅當(dāng)t²=4，即t=2時(shí)等號(hào)成立
∴當(dāng)t=2時(shí)，即P坐標(biāo)為（2，

2

）時(shí)，|PQ|的最小值為

16

=4
綜上所述，折后線段PQ的長(zhǎng)度的最小值等于4
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面圖形的折疊，求折后P、Q兩點(diǎn)間的最短距離．著重考查了兩點(diǎn)間的距離公式、面面垂直的性質(zhì)、勾股定理和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．同時(shí)考查了邏輯推理能力和運(yùn)算能力，考查了轉(zhuǎn)化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用等知識(shí)，是一道不錯(cuò)的綜合題．