Question

如圖，橢圓以邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角頂點(diǎn)A，C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)各邊的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：建立如圖所示的坐標(biāo)系，寫出A、C、D、E的坐標(biāo)，利用橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，待定系數(shù)法求橢圓的方程．

解答：解：如圖所示：以點(diǎn)A，C所在直線為x軸，以線段AC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（-

2

2

，0）、C（

2

2

，0），D（0，

2

2

），
故CD的中點(diǎn) E（

2

4

，

2

4

），
∵E在橢圓上，由橢圓的定義，
得EA+EC=2a=

( 3 2 4 )2+ 2 16

+

(- 2 4 )2+ 2 16

=

5

2

+

1

2

=

1+ 5

2

，
∴a=

1+ 5

4

．
又 c=

2

2

，∴b²=a²-c²=

5 -1

8

，∴橢圓的方程為：

8x2

3+ 5

+

32y2

3- 5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用橢圓的定義，用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，屬于中檔題．