Question

已知P（x，y）為函數(shù)y=1+lnx圖象上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OP的斜率k=f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=x+

1

x

-f（x），求函數(shù)F（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)法即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由題意得F（x）=x-

lnx

x

，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，
∴f′（x）=(

1+lnx

x

)′=-

lnx

x2

，
當(dāng)lnx＞0即x＞1時，f′（x）＜0；當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）F（x）=x+

1

x

-f（x）=x+

1

x

-

1+lnx

x

=x-

lnx

x

，
∴F′（x）=

x2-1+lnx

x2

，
設(shè)h（x）=x²-1+lnx，則h′（x）=2x+

1

x

＞0（x＞0），
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
又h（1）=0，∴F′（1）=0且F′（x）有唯一的零點(diǎn)1，
∴F（x）在（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，在[1，+∞）為增函數(shù)，
∴函數(shù)F（x）的最小值為F（1）=1．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間及最值問題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬中檔題．