Question

.已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)離心率e=

3

2

，焦點到橢圓上的點的最短距離為2-

3

．
（1）求橢圓的標準方程．
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與橢圓交與M，N兩點，當|MN|=

8 2

5

時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知得e=

c

a

=

3

2

，a-c=2-

3

，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

得（4k²+1）x²+8kx=0．再由根的判別式和韋達定理能求出直線l的方程．

解答：解：（1）由已知得e=

c

a

=

3

2

，
∵a-c=2-

3

，
∴a=2，c=

3

∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1…（6分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

得（4k²+1）x²+8kx=0…（8分）
△=64k²，
∵直線l：y=kx+1與橢圓交與M，N兩點，
∴△＞0，x1+x2=

-8k

4k2+1

，x1•x2=0
∴|MN|=

1+k2

|x1-x2|
=

1+k2

•

8|k|

4k2+1

=

8 2

5

，
∴k=±1，或k=±

14

7

，（10分）
∴直線方程為y=x+1，或y=-x+1，或y=

14

7

x+1，或y=-

14

4

x+1．（14分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．