Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=m|x-1|（m∈R）．
（1）若關(guān)于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若當(dāng)x∈R時，關(guān)于x的不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）求函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值（直接寫出結(jié)果，不需給出演算步驟）．

Answer 1

分析：（1）將方程變形，利用x=1已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=m有且僅有
一個等于1的解或無解，從而可求實數(shù)m的取值范圍；
（2）將不等式分離參數(shù)，確定函數(shù)的值域，即可求得實數(shù)m的取值范圍．
（3）去絕對值，分段求函數(shù)的最值．

解答：解：：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x²-1|=m|x-1|，變形得|x-1|（|x+1|-m）=0，
顯然，x=1已是該方程的根，從而欲使原方程只有一解，
即要求方程|x+1|=m有且僅有一個等于1的解或無解，∴m＜0．
（2）當(dāng)x∈R時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x²-1）≥m|x-1|（*）對x∈R恒成立，
①當(dāng)x=1時，（*）顯然成立，此時m∈R；
②當(dāng)x≠1時，（*）可變形為m≤

x2-1

|x-1|

，令φ（x）=

x2-1

|x-1|

=

x+1 ， x＞1 -(x+1) ，x＜1

，
因為當(dāng)x＞1時，φ（x）＞2，當(dāng)x＜1時，φ（x）＞-2，所以φ（x）＞-2，故此時m≤-2．
綜合①②，得所求實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-2]．
（3）（Ⅲ）因為h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+m|x-1|=

x2+mx-m-1(x≥1) -x2-mx+m+1(-1≤x＜1) x2-mx+m-1(x＜-1)

，
由此可得，
①當(dāng)m≥0時，-

m

2

≤0，h（x）在[0，1）上遞減，[1，2]上為增函數(shù)，由于h（0）=m+1，h（2）=3+m，
故它的最大值為h（2）=3+m．
②當(dāng)-2≤m＜0時，0＜-

m

2

≤1，由于h（x）在[0，-

m

2

）上單調(diào)遞增，在[-

m

2

，1）上單調(diào)遞減，
在[1，2]上為增函數(shù)，且h（-

m

2

）=(

m

2

+1)2，h（2）=3+m，故h（x）在[0，2]上的最大值為h（2）=a+m．
③當(dāng)-3≤m＜-2時，1＜-

m

2

≤

3

2

，由于h（x）在[1，1]上遞增，在[1，-

m

2

）上遞減，在[-

m

2

，2]上遞增，
h（1）=0，h（2）=3+m≥0，故h（x）在[0，2]上的最大值為h（2）=3+m．
④當(dāng)m＜-3時，-

m

2

＞

3

2

，h（x）在[0，1）上遞增，在[1，-

m

2

]上為減函數(shù)，在（-

m

2

，2]上遞增，
故h（x）在[0，2]上的最大值為h（1）=0．
綜上可得，當(dāng)m≥-3時，h（x）在[0，2]上的最大值為h（2）=3+m；
當(dāng)m＜-3時，h（x）在[0，2]上的最大值h（1）=0．

點評：本題考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件及相關(guān)知識對問題進行正確轉(zhuǎn)化，本題比較抽象，對問題的轉(zhuǎn)化尤其顯得重要，本題在求解問題時用到了分類討論的思想，轉(zhuǎn)化化歸的思想，數(shù)學(xué)綜合題的求解過程中，常到到這兩個思想，屬于中檔題．