Question

已知△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，且EC，DB在平面ABC的同側，CE=CA=2BD=2．
（1）求證平面CAE⊥平面DAE；
（2）求：點B到平面ADE的距離．

Answer 1

分析：（1）由于N是EA的中點，容易得到DN∥BM，而BM⊥平面ECA，從而得證；
（2）直接根據(jù)V_B-ADE=V_E-ADB=V_C-ADB，列出關于點B到平面ADE的距離的等式，即可求出結論．

解答：

解：（1）證明：取AC中點M，取AE中點N，連接MN、MB，DN，
∵N是EA的中點，
∴MN=

1

2

EC．由BD=

1

2

EC，且BD⊥平面ABC，
可得四邊形MNBD是矩形，于是DN∥BM．
∴DN⊥AC
∵CE=CA=2BD=2
∴可得DE=DA，N是EA的中點，
∴DN⊥EA．又EA∩MN=M，
∴DN⊥平面ECA，DN?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．
（2）：設點B到平面ADE的距離為h
∵△ABC為正三角形
∴C到AB的距離d=

3

，由BD⊥平面ABC可得C到AB的距離即為C到面ABD的距離，
∵V_B-ADE=V_E-ADB=V_C-ADB．
∴

1

3

×

1

2

×DN•AE•h=

1

3

×S_△ABD•d．
∴h=

AB•d•d

DN•AE

=

AB•d•d

BM•AE

=

AB•d•d

d•AE

=

AB•d

AE

=

2× 3

22+22

=

6

2

．

點評：本題考查空間中平面與平面垂直的問題，面面垂直轉化為線面垂直解決，同時注意使用線面垂直的判定定理及性質定理．