Question

已知橢圓的一個焦點為，離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）利用題中條件求出的值，然后根據(jù)離心率求出的值，最后根據(jù)、、三者的關(guān)系求出的值，從而確定橢圓的標準方程；（2）分兩種情況進行計算：第一種是在從點所引的兩條切線的斜率都存在的前提下，設(shè)兩條切線的斜率分別為、，并由兩條切線的垂直關(guān)系得到，并設(shè)從點所引的直線方程為，將此直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程，利用得到有關(guān)的一元二次方程，最后利用以及韋達定理得到點的軌跡方程；第二種情況是兩條切線與坐標軸垂直的情況下求出點的坐標，并驗證點是否在第一種情況下所得到的軌跡上，從而得到點的軌跡方程.
（1）由題意知，且有，即，解得，
因此橢圓的標準方程為；
（2）①設(shè)從點所引的直線的方程為，即，
當從點所引的橢圓的兩條切線的斜率都存在時，分別設(shè)為、，則，
將直線的方程代入橢圓的方程并化簡得，
，
化簡得，即，
則、是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則，
化簡得；
②當從點所引的兩條切線均與坐標軸垂直，則的坐標為，此時點也在圓上.
綜上所述，點的軌跡方程為.
考點：本題以橢圓為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及動點的軌跡方程，將直線與二次曲線的公共點的個數(shù)利用的符號來進行轉(zhuǎn)化，計算量較大，從中也涉及了方程思想的靈活應用，屬于難題.