Question

若不等式x＞0，2x+y≤4與x+2y≥4所確定的平面區(qū)域被直線y=kx+2分為面積相等的兩部分，則k的值是（　�。�

• A．1
• B．2
• C．

  1

  2

• D．-1

Answer 1

分析：先畫出不等式組

x＞0 x+2y≥4 2x+y≤4

所表示的平面區(qū)域，
法一：求出平面區(qū)域的面積以及在直線y=kx+2 一側(cè)的面積；再結(jié)合平面區(qū)域被直線y=kx+2 分為面積相等的兩部分即可求出k的值．
法二：通過分析知道D是BC的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式計(jì)算即可．

解答：解：不等式組

x＞0 x+2y≥4 2x+y≤4

所表示的平面區(qū)域?yàn)槿�角形ABC．
由

x+2y=4 2x+y=4

⇒

x= 4 3 y= 4 3

．故點(diǎn)C（

4

3

，

4

3

）．
解法一：由

2x+y=4 y=kx+2

⇒

x= 2 k+2 y= 4k+4 k+2

，故點(diǎn)D（

2

k+2

，

4k+4

k+2

）
所以 S△ABD=

1

2

×|AB|•x_D=

1

2

x2×

2

k+2

=

2

k+2

．
S_△ABC=

1

2

×|AB|•x_C=

1

2

×2×

4

3

=

4

3

．
又因?yàn)槠矫鎱^(qū)域被直線y=kx+2 分為面積相等的兩部分
∴S△ABD=

1

2

S△ABC  即

2

k+2

=

1

2

×

4

3

，解得k=1．
解法二：設(shè)點(diǎn)A到BC的距離為d，S△ABD=

1

2

|BD|•d，S△AcD=

1

2

|CD|•d
因?yàn)槠矫鎱^(qū)域被直線y=kx+2 分為面積相等的兩部分，
所以|BD|=|CD|，即D是BC的中點(diǎn)，
所以D(

0+ 4 3

2

，

4+ 4 3

2

)，
所以k=

8 3 -2

2 3 -0

=1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，計(jì)算能力以及分析問題的能力，用到面積公式，斜率公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式．