Question

已知橢圓C以F₁（-1，0），F₂（1，0）為焦點，且離心率e=

2

2

（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）過M(0 ， 

2

)點斜率為k的直線l₁與橢圓C有兩個不同交點P、Q，求k的范圍
（Ⅲ）設橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在直線l₁，滿足（Ⅱ）中的條件且使得向量

OP

+

OQ

與

AB

垂直？如果存在，寫出l₁的方程；如果不存在，請說明理由

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓C的半長軸長、半短軸長、半焦距長分別為a、b、c由題意可得c，根據離心率求得a，進而可得b，橢圓的方程可得．
（Ⅱ）通過點斜式設出直線l₁的方程，與橢圓方程聯立消去y，通過判別式大于0求得k的范圍
（Ⅲ）設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則x₁、x₂是（*）的二根，根據韋達定理可得求得x₁+x₂和y₁+y₂，進而可表示出

OP

+

OQ

，根據A，B坐標求得

AB

，若(

OP

+

OQ

)⊥

AB

，需(

OP

+

OQ

)•

AB

=0求得的k不符合（2）中的k的范圍，進而可判斷不存在滿足題設條件的l₁．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的半長軸長、半短軸長、半焦距長分別為a、b、c
由題設知：c=1
由e=

c

a

=

1

a

=

1

2

，得a=

2

，
則b=1
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）過M(0 ， 

2

)點斜率為k的直線l1：y-

2

=kx
即l1：y=kx+

2

與橢圓C方程聯立消y得（2k²+1）x²+4

2

x+2=0（*）
由l₁與橢圓C有兩個不同交點知
其△=32k²-8（2k²+1）＞0得k＜-

2

2

或k＞

2

2

∴k的范圍是(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)．
（Ⅲ）設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則x₁、x₂是（*）的二根
則x1+x2=-

4 2 k

2k2+1

，則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

=

2 2

2k2+1

則

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)=(-

4 2 k

2k2+1

 ， 

2 2

2k2+1

)
由題設知A(

2

 ， 0) 、B(0 ， 1)，∴

AB

=(-

2

 ， 1)
若(

OP

+

OQ

)⊥

AB

，須(

OP

+

OQ

)•

AB

=

8k

2k2+1

+

2 2

2k2+1

=0
得k=-

2

4

∉(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)
∴不存在滿足題設條件的l₁．

點評：本題主要考查了橢圓的應用．當設直線方程的時候要對斜率存不存兩種情況討論，最后還要看求得的k是否符合題意．