Question

已知橢圓C以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點，且離心率
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）過點斜率為k的直線l₁與橢圓C有兩個不同交點P、Q，求k的范圍
（Ⅲ）設橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在直線l₁，滿足（Ⅱ）中的條件且使得向量與垂直？如果存在，寫出l₁的方程；如果不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓C的半長軸長、半短軸長、半焦距長分別為a、b、c由題意可得c，根據離心率求得a，進而可得b，橢圓的方程可得．
（Ⅱ）通過點斜式設出直線l₁的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，通過判別式大于0求得k的范圍
（Ⅲ）設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則x₁、x₂是（*）的二根，根據韋達定理可得求得x₁+x₂和y₁+y₂，進而可表示出，根據A，B坐標求得，若，需求得的k不符合（2）中的k的范圍，進而可判斷不存在滿足題設條件的l₁．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的半長軸長、半短軸長、半焦距長分別為a、b、c
由題設知：c=1
由，得，
則b=1
∴橢圓C的方程為
（Ⅱ）過點斜率為k的直線
即
與橢圓C方程聯(lián)立消y得（2k²+1）x²+4x+2=0（*）
由l₁與橢圓C有兩個不同交點知
其△=32k²-8（2k²+1）＞0得或
∴k的范圍是．
（Ⅲ）設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則x₁、x₂是（*）的二根
則，則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=
則=
由題設知，∴
若，須
得
∴不存在滿足題設條件的l₁．
點評：本題主要考查了橢圓的應用．當設直線方程的時候要對斜率存不存兩種情況討論，最后還要看求得的k是否符合題意．