Question

在二項(xiàng)式(x

1

2

+

1

2x 1 4

)n的展開式中，若前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（　　）

• A、5
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，求出前三項(xiàng)的系數(shù)，利用等差數(shù)列得到關(guān)于n的等式，求出n的值，將n的值代入通項(xiàng)，令x的指數(shù)為整數(shù)，得到r的值，得到展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)．

解答：解；展開式的通項(xiàng)Tr+1=(

1

2

)r

C

r n

x

2n-3r

4

前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，

1

2

n，

n(n-1)

8

∵前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列
∴n=1+

n(n-1)

8

解得n=8
∴展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(

1

2

)r

C

r 8

x4-

3r

4

要項(xiàng)為有理項(xiàng)，需x的指數(shù)為整數(shù)
∴r=0，4，8為有理項(xiàng)
故選C

點(diǎn)評(píng)：求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，一般利用的工具是二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式．