Question

（2013•石家莊二模）已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3+(

a

2

+

1

2

)x2+(2a-2)x（a∈R）有三個(gè)不同的零點(diǎn)．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）三個(gè)互不相同的零點(diǎn)為0，α，β（α＜β），是否存在實(shí)數(shù)a，對于任意的x∈[α，β]均有f（x）≥f（1）成立，若存在，求出a的取值集合，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=x[

1

3

x2+（

a

2

+

1

2

）x+（2a-2）]，令g（x）=

1

3

x2+（

a

2

+

1

2

）x+（2a-2），令△＞0可求得a的范圍，注意g（0）≠0；
（Ⅱ）令f′（x）=0，得x=-2或x=-（a-1），由（Ⅰ）按a的范圍a＞7，1＜a＜

5

3

，a＜1三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)極值點(diǎn)與零點(diǎn)的大小關(guān)系及函數(shù)f（x）的單調(diào)性結(jié)合圖象逐一判斷可得結(jié)論；

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

1

3

x3+(

a

2

+

1

2

)x2+(2a-2)x=x[

1

3

x2+（

a

2

+

1

2

）x+（2a-2）]，
令g（x）=

1

3

x2+（

a

2

+

1

2

）x+（2a-2），
△=(

a

2

+

1

2

)2-

4

3

(2a-2)=

(a-7)(3a-5)

12

＞0，解得a＞7或a＜

5

3

，
又g（0）=2a-2≠0，∴a≠1，
所以a的取值范圍為（-∞，1）∪（1，

5

3

）∪（7，+∞）；
（Ⅱ）f′（x）=x²+（a+1）x+2（a-1）=（x+2）[x+（a-1）]，
令f′（x）=0，得x=-2或x=-（a-1），
①當(dāng)a＞7時(shí)，1-a＜-6，α＜1-a＜β＜-2＜0，f（x）在（-2，+∞）上為增函數(shù)，此時(shí)，f（α）=0，f（1）＞f（0）=0，與題意不符，舍去；
②當(dāng)1＜a＜

5

3

時(shí)，-

2

3

＜1-a＜0，此時(shí)，α＜-2＜β＜1-a＜0，f（x）在（1-a，+∞）上為單增函數(shù)，f（α）=0，f（1）＞f（0）=0，與題意不符，舍去；
③當(dāng)a＜1時(shí)，1-a＞0，此時(shí)α＜-2＜0＜1-a＜β，f（x）在（-2，1-a）上單調(diào)遞減，f（x）在（1-a，+∞）上單調(diào)遞增，
又對任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，所以α＜1＜β，
所以f（1）為函數(shù)f（x）在[α，β]上的最小值，即f（1-a）=f（1），
所以1-a=1，即a=0，
故a的取值集合為{0}．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值、函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問題的能力．