Question

如圖，設拋物線方程為x²=2py（p＞0），M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B。

（1）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列；
（2）已知當M點的坐標為（2，-2p）時，|AB|=，求此時拋物線的方程；
（3）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線x²=2py（p＞0）上，其中，點C滿足（O為坐標原點），若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由題意設
由得，則
所以
因此直線MA的方程為　　　　　　　　
直線MB的方程為
所以 ①
②
由①、②得　　
因此，即
所以A、M、B三點的橫坐標成等差數(shù)列。
（2）解：由（1）知，當x₀=2時，將其代入①、②并整理得：
 ，
所以，x₁、x₂是方程的兩根，
因此
又
所以
由弦長公式得
又，
所以p=1或p=2，
因此所求拋物線方程為或。
（3）解：設D（x₃，y₃），由題意得C（x₁+ x₂，y₁+ y₂），
則CD的中點坐標為 　
設直線AB的方程為 　
由點Q在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，
代入得 　
若D（x₃，y₃）在拋物線上，則
因此，x₃=0或x₃=2x₀
即D（0，0）或
（i）當x₀=0時，則，此時，點M（0，-2p）適合題意；
（ii）當，對于D（0，0），此時
又，AB⊥CD，
所以
即矛盾
對于，因為此時直線CD平行于y軸，
又
所以，直線AB與直線CD不垂直，與題設矛盾，
所以時，不存在符合題意的M點
綜上所述，僅存在一點M（0，-2p）適合題意。