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        1. 如圖,設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線l:y=-2p上任意一點(diǎn),過(guò)M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A、B.
          (1)設(shè)拋物線上一點(diǎn)P到直線l的距離為d,F(xiàn)為焦點(diǎn),當(dāng)d-|PF|=
          32
          時(shí),求拋物線方程;
          (2)若M(2,-2),求線段AB的長(zhǎng);
          (3)求M到直線AB的距離的最小值.
          分析:(1)根據(jù)d-|PF|=
          3
          2
          ,得yP+2p-(yP+
          p
          2
          )=
          3p
          2
          =
          3
          2
          ,由此可求拋物線方程;
          (2)求出拋物線方程與過(guò)M點(diǎn)的直線為y=k(x-2)-2聯(lián)立,利用直線與拋物線相切,可求得xB-xA=4
          2
          ,xB+xA=4.根據(jù)A、B在拋物線上,可求yB-yA,從而可求線段AB的長(zhǎng);
          (3)設(shè)M(m,-2p),過(guò)M點(diǎn)的直線與拋物線聯(lián)立,利用直線與拋物線相切,可得x1-x2=p(k1-k2),y1-y2=
          x
          2
          1
          -
          x
          2
          2
          2p
          =
          (x1-x2)(x1+x2)
          2p
          =
          p2(k1-k2)(k1+k2)
          2p
          ,從而可得直線AB的方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)M到AB的距離,利用基本不等式,即可求M到直線AB的距離的最小值.
          解答:解:(1)由d-|PF|=
          3
          2
          ,得yP+2p-(yP+
          p
          2
          )=
          3p
          2
          =
          3
          2
          ,∴p=1,
          ∴拋物線方程為x2=2y.
          (2)M(2,-2)在直線y=-2p上,∴-2=-2p,解得p=1,
          ∴拋物線方程為x2=2y,
          設(shè)過(guò)M點(diǎn)的直線為y=k(x-2)-2,聯(lián)立:
          y=k(x-2)-2
          x2=2y
          ,消去y,得
          x2
          2
          =kx-2k-2

          即x2-2kx+4(k+1)=0(*),
          ∵直線與拋物線相切,∴△=0,即4k2-16(k+1)=0
          ∴k2-4k-4=0,∴k=2±2
          2
          ,此時(shí),方程(*)有等根x=k,
          ∴xB=2+2
          2
          ,xA=2-2
          2
          ,
          ∴xB-xA=4
          2
          ,xB+xA=4.
          ∵A、B在拋物線上,
          ∴yB-yA=
          x
          2
          B
          -
          x
          2
          A
          2
          =
          (xB+xA)(xB-xA)
          2
          =8
          2

          ∴|AB|=
          (xB-xA)2+(yB-yA)2
          =
          32+128
          =4
          10

          (3)設(shè)M(m,-2p),過(guò)M點(diǎn)的直線為L(zhǎng):y=k(x-m)-2p,聯(lián)立:
          y=k(x-m)-2p
          x2=2py
          ,消去y,得
          x2
          2p
          =kx-km-2p
          ,
          ∴x2-2kpx+2p(km+2p)=0①,
          ∵直線與拋物線相切,∴△=0
          ∴4k2p2-8p(km+2p)=0,∴pk2-2mk-4p=0②,此時(shí)方程①有等根x=kp,
          令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),則x1-x2=p(k1-k2),y1-y2=
          x
          2
          1
          -
          x
          2
          2
          2p
          =
          (x1-x2)(x1+x2)
          2p
          =
          p2(k1-k2)(k1+k2)
          2p
          ,
          ∴AB的斜率k′=
          y1-y2
          x1-x2
          =
          k1+k2
          2
          ,
          由②,根據(jù)韋達(dá)定理可得k1+k2=
          2m
          p
          ,∴k′=
          m
          p
          ,
          ∴直線AB的方程為y-y1=
          m
          p
          (x-x1)

          y-
          k
          2
          1
          p2
          2p
          =
          m
          p
          (x-k1p)

          ∴化簡(jiǎn)可得2py-
          k
          2
          1
          p2=2mx-2mk1p
          ,
          2mx-2py+p(p
          k
          2
          1
          -2mk1)=0

          由②pk2-2mk-4p=0,∴p
          k
          2
          1
          -2mk1=4p
          ,
          ∴AB方程化為:2mx-2py+4p2=0,
          ∴點(diǎn)M到AB的距離d=
          |2m•m-2p(-2p)+4p2|
          4m2+4p2
          =
          |2m2+8p2|
          4m2+4p2
          =
          (m2+p2)+3p2
          m2+p2
          =
          m2+p2
          +
          3p2
          m2+p2
          ≥2
          3p2
          =2
          3
          p
          ,
          當(dāng)且僅當(dāng)
          m2+p2
          =
          3p2
          m2+p2
          ,即m2+p2=3p2,
          m=±
          2
          p
          時(shí),上式等號(hào)成立,
          ∴M到直線AB的距離的最小值為2
          3
          p
          點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查點(diǎn)到直線的距離公式,考查基本不等式的運(yùn)用,綜合性強(qiáng).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn),過(guò)M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B.
          (Ⅰ)求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;
          (Ⅱ)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2p)時(shí),|AB|=4
          10
          .求此時(shí)拋物線的方程;
          (Ⅲ)是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D在拋物線x2=2py(p>0)上,其中,點(diǎn)C滿(mǎn)足
          OC
          =
          OA
          +
          OB
          (O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在,求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn),過(guò)M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B.
          (Ⅰ)求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;
          (Ⅱ)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2p)時(shí),|AB|=4
          10
          ,求此時(shí)拋物線的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆河南省許昌市五校高二下學(xué)期第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          如圖,設(shè)拋物線方程為,為直線上任意一點(diǎn),過(guò)引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為

          (1)求證:三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;

          (2)已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),.求此時(shí)拋物線的方程。

           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:四川省成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)院高三2010-2011學(xué)年9月月考數(shù)學(xué)試題(理科) 題型:解答題

          如圖,設(shè)拋物線方程為直線上任意一點(diǎn),過(guò)M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B。

          (1)求證:A,MB三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;

          (2)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),,求此時(shí)拋物線的方程;

          (3)是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D在拋物線上,其中,點(diǎn)C滿(mǎn)足O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在,求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

           

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