Question

【題目】已知,.

（1）若對任意的實數(shù)，恒有，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，求證：方程恒有兩解.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)詳見解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次不等式，進(jìn)而得，令，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）方程化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，得到在和各有一個零點，即可得方程恒有兩解．

試題解析：

（Ⅰ）要使f(x)＜g(x)恒成立，即使成立，

整理成關(guān)于a的二次不等式，

只要保證△＜0，　　　　

，

整理為，　�。╥） 　

下面探究（i）式成立的條件，令，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，x=1時有最小值，，，．

實數(shù)b 的取值范圍是（－1,2）．　

（Ⅱ）方程化為，

令，，　

在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，，，

存在使，即，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 在處取得最小值．　

，

，＜0，　

，，在和各有一個零點，故方程恒有兩解．