Question

在△ABC中，AH為BC邊上的高，tanC=

4

3

，則過點C，以A，H為焦點的雙曲線的離心率為

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形中三角函數(shù)的定義，得Rt△ACH中

AH

HC

=

4

3

，因此設(shè)AH=4λ，則HC=3λ，結(jié)合勾股定理算出AC═5λ．由以A、H為焦點的雙曲線經(jīng)過點C，根據(jù)雙曲線的定義與離心率公式即可算出該雙曲線的離心率e=2．

解答：解：∵AH為BC邊上的高，tanC=

4

3

，
∴Rt△ACH中，

AH

HC

=

4

3

，
設(shè)AH=4λ，則HC=3λ，AC=

AH2+HC2

 =5λ（λ＞0）
∵以A、H為焦點的雙曲線經(jīng)過點C
∴雙曲線的實軸2a=|AC-CH|=2λ，焦距2c=AH=4λ
因此，該雙曲線的離心率e=

2c

2a

=

4λ

2λ

=2
故答案為：2

點評：本題給出以直角三角形兩個頂點為焦點的雙曲線經(jīng)過第三個頂點，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的定義、簡單幾何性質(zhì)和解直角三角形等知識，屬于中檔題．