Question

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

（1）證明：PA∥平面EDB；

（2）證明：PB⊥平面EFD.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

證明：（1）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)EO。

∵底面ABCD是正方形，

∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)。

又∵E是PC的中點(diǎn)

∴在中，EO為中位線

∴PA∥EO。                                          …………………….3分

而EO平面EDB，PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB。                                     ……………………6分

（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。

∵底面ABCD是正方形，

∴DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC，而DE平面PDC，

∴BC⊥DE。①                                        ……………………8分

PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，

∴是等腰三角形，DE⊥PC。②                   ……………………10分

由①和②得DE⊥平面PBC。

而PB平面PBC，

∴DE⊥PB。                                          ……………………12分

又EF⊥PB且DEEF＝E，

∴PB⊥平面EFD。

【解析】略