Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂與短軸兩端點(diǎn)B₁，B₂構(gòu)成∠B₂F₁B₁為120°，面積為2

3

的菱形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)（M，N不是左右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn)A，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知∠B₂F₁B₁為=120°，及菱形F₁B₁F₂B₂的面積可得

bc= 3 b c = 3

，從而可求b，c，再由a=

b2+c2

可求，可求橢圓方程
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

整理，結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，x₁+x₂=

-8mk

3+4k2

，x₁•x₂=

4(m2-3)

3+4k2

，且△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，而以MN為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)A可得

AM

•

AN

=0即x₁x₂+y₁y₂=0，代入可得m，k之間的關(guān)系，代入直線方程可知直線所過的定點(diǎn)

解答：解：（Ⅰ）∵∠B₂F₁B₁為=120°
∴∠B₁F₁O=60°
tan60°=

b

c

=

3

∵菱形F₁B₁F₂B₂的面積S =2×

1

2

×2c×b=2

3

bc=

3

即 

bc= 3 b c = 3

  
∴

b= 3 c=1

，
由a=

b2+c2

=2
故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

 得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
則x₁+x₂=

-8mk

3+4k2

，x₁•x₂=

4(m2-3)

3+4k2

，
且△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，即3+4k²-m²＞0
∵以MN為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)A
∴AM⊥AN即

AM

•

AN

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
又y₁y₂=（kx₁+m）•（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=

3(m2-4k2)

3+4k2

，
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0，
化簡得，7m²+4k²+16mk=0
解得m=-2k或m=-

2k

7

且均滿足3+4k²-m²＞0
當(dāng)m=-2k時(shí)，L：y=k（x-2），直線過定點(diǎn)（2，0）與已知矛盾；
當(dāng)m=-

2k

7

時(shí)，L；y=k（x-

2

7

），直線過定點(diǎn)(

2

7

，0)
綜上，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

7

，0）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，利用直線的點(diǎn)斜式求解直線所過的定點(diǎn)，屬于直線與曲線的綜合性試題