Question

【題目】已知拋物線，直線交于兩點(diǎn)， 是的中點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn).

（1）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 存在實(shí)數(shù)使以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).

【解析】【試題分析】（1）先運(yùn)用直線與拋物線的位置關(guān)系求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求導(dǎo)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析推證；（2）依據(jù)題設(shè)條件借助（1）的結(jié)論分析探求：

（1）證明：設(shè)， ，把代入得.

所以， ，所以.

因?yàn)?/span>，所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，故該切線與平行.

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則.

由（1）知 ，又因?yàn)?/span>垂直于軸，

所以，

而 .

所以，解得.

所以，存在實(shí)數(shù)使以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).