Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B作y軸的平行線依次交拋物線的準(zhǔn)線于A₁，B₁兩點(diǎn)，Q是A₁B₁的中點(diǎn)，連AQ、BQ、FA₁、FB₁、FQ有下列命題：
①點(diǎn)Q是△A₁FB₁的外心；
②△AQB的外心有可能在此拋物線上；
③AQ、FA₁、x軸相交于一點(diǎn)；
④線段AA₁、BB₁、FQ的長度滿足：FQ²=BB₁•AA₁
上述命題正確的有

 

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①只需要說明A₁F⊥FB₁即可；②由于易得AQ⊥QB，故△AQB的外心是線段AB的中點(diǎn)；③④取特殊位置AB∥x軸，可知結(jié)論正確．

解答：解：取特殊位置AB∥x軸①則A1(-p，-

p

2

)，F(xiàn)(0，

p

2

)，B1(p，-

p

2

)，故有A₁F⊥FB₁，所以點(diǎn)Q是△A₁FB₁的外心；②A (-p，

p

2

)，Q(0，-

p

2

)，B(p，

p

2

)得AQ⊥QB，故△AQB的外心是線段AB的中點(diǎn)；③由于此時AFQA₁是矩形，故正確；④FQ=BB₁=AA₁=p，顯然FQ²=BB₁•AA₁
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題取特殊位置，簡化了解題，是解決填空題的很好的策略．